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解題策略訓練2

已更新:4月26日

空間直線方程式

題目修改自109學年度北一女中高二數A的段考題

如果直線在平面上,線外一點到直線的距離,可以用公式求出,

但現在直線在空間中,該怎麼做呢?

空間直線的方程式,會告訴我們,這條直線L通過的點,以及直線的方向向量,

直線上的點,都可以用參數式表示,

因此,

(1)假設直線上的點坐標,利用距離公式,算P點到直線上任一點的距離,得到一個根號的式子,根號裡面是一個一元二次式,這時候我們就可以用配方法,求出最短的距離。


(2-1)找出P在L上的投影點Q,同樣利用L的參數式,可以假設出向量PQ,因為向量PQ和方向向量垂直,代表內積為0,就可以找出投影點了,有兩點的坐標,自然就可以求距離了。


(2-2)另一種方法,可以直接求向量QP,這時候,我們可以先利用正射影的公式求出AQ,再利用向量加減法,算出向量QP。

以下,利用正射影,以及向量加減法,算出向量QP,其長度就是P到L的最短距離。

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