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  • 作家相片耀 黃

多項式的係數

已更新:4月26日

從國中開始,學生就開始接觸多項式,從一開始的以符號代表數,多項式的四則運算,到了高一,還要學習除法原理、餘式定理、因式定理、三次多項式函數的圖形,一直到高三,還會利用微積分找多項式的極值。從這可以發現,學生和多項式的淵源涵蓋整個國高中階段。



在剛認識多項式時,最常出現的題目,不外乎是係數有關的題目,有所有係數總和、奇數次方項的係數總和、偶數次方項的係數總和。所有的參考書都會提供公式,先算f(1)或f(-1),代入公式後解能解決出問題了。



但是,為什麼沒事,要算那麼多係數和的題目呢?難道這類型的題目,都那麼直接嗎?從網路上看到一道試題,是2023年TRML高中數學競賽的題目,我覺得出的很棒,我將試題修改簡化後,可以讓大家想一想,我們要探討係數。

我們可以發現,在這98個數字當中,有時候要選1個數字,有時候選2個數字相乘,...有時候甚至98個數字都要選出來相乘,所有這些乘積代表什麼呢?這和多項式有什麼關係呢?


其實,當我們要選出n個數字相乘時,同時也代表,有98-n個數字沒有選,如果把這些沒有選到的數字,都用1來表示,我們可以讓每次相乘,都是98個數字。


這樣,這分數有沒有選出來乘,就可以想成,我們是選分數,還是選1,這樣,就可以建構出一個多項式函數f(x)。這樣,所有乘積的總和,所有項係數的和,扣掉全部分數都沒選出來相乘的1,即 f(1)-1了。

事實上,這種概念,在組合單元也會再次接觸,在(x+y)的n次方的展開,也是去考慮,k個x拿出來相乘,n-k個y拿出來相乘,進而擴展出二項式定理。



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