在高中數學的學習過程中,高二上學期是一個非常重要的轉折點。在這個階段,學生將會接觸到許多關鍵的數學概念,而其中之一就是指數函數。指數函數看似抽象,但它在理論與應用上的影響都非常深遠。不過,很多同學在學習指數函數時,往往會遇到一些常見的困難。
首先,指數函數和之前學到的線性或二次函數不一樣,它具有非線性增長的特性。這種增長方式可能讓學生很難直觀理解其速度和變化。再加上,指數函數經常與對數函數一起學習,而對數是指數的逆運算,這讓概念變得更加抽象,讓部分學生難以掌握。
除了理論上的挑戰,指數函數在現實生活中的應用也可能讓學生感到困惑。指數函數經常應用在金融、科學等領域,比如複利計算、人口增長和科技進步等。然而,很多學生無法輕易將這些現實情境與數學理論聯繫起來,這也使得他們在解題時容易感到挫敗。
在指數函數的生活情境上,細胞分裂、半衰期、複利計算是最常見的幾個情境,題目可以從很簡單的套用公式,也能設計的像真實生活般複雜。讓我們以複利計算的題目,以下選自109年建中的段考試題。

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但是,學校段考是無法上網google使用房貸試算計算機,那麼,考試遇到該怎麼算呢?其實,他只是利用到等比級數與複利的概念而已,題目思考如下:

指數除了在金融領域外,在生活中還有許多其他應用。例如,人口增長就是一個典型的指數增長現象。如果一個國家的人口每年增長2%,經過幾年後,這個增長幅度將不僅是簡單的加法,而會呈現出指數爆發式的增長。或者,我們也可以看看科技發展,根據摩爾定律,電腦晶片的處理能力大約每18個月就會翻倍一次。這意味著科技進步的速度並不是線性的,而是呈現出指數級別的增長速度。這也是為什麼我們能夠在短短幾十年間,從第一台電腦發展到如今強大而多功能的智能手機。又例如,2020年爆發的新冠疫情,也讓我們切身體會到了指數增長的威力。當一個感染者在短短幾天內就能傳染給數人,且這些人又會傳給更多人時,病例數量會以指數速度急劇上升。這導致許多國家在短時間內面臨巨大的醫療壓力,也讓人們對指數的現實意義有了更深刻的理解。
當我們在學校學習指數和對數函數時,這些數學概念或許看起來有些抽象、遙遠,但它們實際上在我們的日常生活中無處不在。我們需要不斷的提升自己的數學素養,這不僅僅是為了考試或進入名校,更重要的是讓我們在面對現實生活中的問題時,有能力理解並找到解決方案。
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