遇到操場跑步題目不再頭暈

圓形操場跑步問題是國小高年級競賽、國中資優試題，甚至是入學考都十分常見的情境。以師大附中資訊科學特色招生考試為例，在108、109、111、112 年都不約而同出現了類似的問題。

許多孩子看到這類題目就感到頭疼，尤其是加上「轉身、變向」等條件後，邏輯極易混亂。其實，這類題目的解題核心不在複雜的運算，而在於能否看穿「同向追趕」與「反向相遇」背後的距離關係。只要建立以下兩個直觀的視覺畫面，再難的題目都能迎刃而解。

讓我們以下題為例：

【解題關鍵】

關鍵一：同方向追趕（背後追上） = 多跑了一整圈

想像你在操場跑步，速度比朋友快。當你從背後拍到他的肩膀（追趕）時，這意味著什麼？

這代表在同樣的時間內，你已經領先了他整整一個圓周的距離。

關鍵二：反方向相遇（正面碰頭） = 兩人合跑一整圈

現在，若你和朋友面對面（反向）而行，當你們相遇那一刻，你跑過的弧線加上他跑過的弧線，剛好會拼成一個完整的圓。

這題目將這兩個概念串在了一起。我們根據題目條件，將解題分為兩階段：

第一階段：同方向跑步，甲追上乙

根據條件「乙最終跑了 4 圈」，以及第二階段兩人「合跑 1 圈」的邏輯，我們可以反推：在甲追上乙的那一刻，乙已經跑了 3 圈多，而甲因為多跑一圈，則跑了4 圈多。

• 設乙跑了 (3 + x) 圈，

• 甲跑了 (3 + x) + 1 = (4 + x) 圈

第二階段：甲轉身，兩人反向相遇

此時甲立即轉向。題目告訴我們，當兩人再次碰頭時，乙「恰好」跑滿了 4 圈。

• 乙這段時間新跑的距離：4 - (3 + x) = (1 - x) 圈。

• 因為反向相遇合跑 1 圈，所以甲這段時間跑的距離：1 - (1 - x) = x  圈。

因為甲、乙兩人在這兩個階段中都維持固定的速度，所以「速度比」會等於「距離比」，便可列出式子求解了，參考解答如下：

黃耀數學為了幫助大家更直觀地感受這兩段路程的銜接與變化，特別製作了一個動態演示動畫。請觀察右側的里程計數器：看甲是如何在領先一圈後轉身，並與乙在計數器跳到「4」的那一刻精準重合。